Tuomo Jämsä selvittää Kielikellossa 2/1989 (Paljonko on puolta enemmän?), mikä on ilmausten ”puolta/puolet vähemmän/enemmän” merkitys kansankielessä. Jämsä on varmaankin osaksi oikeassa. Hän kuitenkin joko osaa huonosti matematiikkaa tai pyrkii provosoimaan lukijoita jättämällä kertomatta, että kerrottu ilmauksen ”puolta/puolet enemmän” kansankielen merkitys on matemaattisesti täysin virheellinen. Minä provosoiduin.

Tiedän hyvin, että mainittua sanontaa ”puolet/puolta enemmän” monet käyttävät merkityksessä ”kaksi kertaa niin paljon”. Mutta kuinka monet? Olisi mielenkiintoista kuulla tutkimustuloksia asiasta – ja myös siitä, kuinka monet välttävät ilmauksen käyttämistä. Jämsän olisi pitänyt kertoa, mitä hän tarkoittaa käsitteellä ”kansankieli”. Hänen tarkoituksensa olisi ehkä selventynyt.

Jämsä selittää hyvin sen ajatusrakennelman jonka tuloksena edellä mainittu, matemaattisesti virheellinen merkitys voi syntyä:

”Kuvitellaan, että A sanoo B:lle: ’Minulla on rahaa puolta (puolet) vähemmän.’ Näin sanoessaan A kuvittelee B:n rahojen olevan kahdessa arvoltaan yhtä suuressa kasassa. Sitten hän toteaa, että hänen rahakasansa arvo on yhtä suuri kuin B:n kumman tahansa rahakasan arvo.

Kuvitellaan, että A sanoisi B:lle: ’Minulla on rahaa puolta (puolet) enemmän.’ Tässä tapauksessa A kääntää edellä kuvatun suhteen, relaation, toisin päin. Nyt hän jakaa omat rahansa kahteen arvoltaan yhtä suureen kasaan ja toteaa, että kumpi tahansa niistä vastaa arvoltaan B:n rahojen muodostamaa kasaa.” (Kursivointi lisätty.)

Sanan puoli käyttö tällä tavalla ei perustu ”yksinkertaiseen logiikkaan”, kuten Jämsä väittää. Se ei perustu logiikkaan lainkaan vaan matemaattiseen kömmähdykseen, siis virheeseen.

Virhe syntyy helposti, kun unohdetaan, että ilmauksen tarkoittama ero on suhteellinen eikä absoluuttinen. Prosenttilaskun parissa tuskallisia hetkiä kokeneet ehkä vieläkin hämmästelevät, miten on mahdollista, että vaikka luku A on 25 % suurempi kuin luku B, on luku B ”vain” 20 prosenttia pienempi kuin luku A. Jos A on esimerkiksi 250, on B 200, edellä kerrotun esimerkin mukaan. Erotus on 50 molempiin suuntiin mutta erotuksen suhde ensimmäisen vertauksen vertailukohteeseen on 50 : 200 ja toisen vertauksen vertailukohteeseen 50 : 250. Jos relaatio käännetään toisin päin, muuttuu myös vertailussa käytetty ”mittapuu” toiseksi.

Jämsä väittää, että sanonnalla ”puolet enemmän” ei ole matematiikassa merkitystä ”puolitoista kertaa niin paljon kuin”. Silti hän ei pohdi sitä kysymystä, mikä merkitys sillä voisi olla. Tämä on kummallista. Ilmauksen tarkoitushan on aina välittää tietoa suureista, ominaisuuksien eroista – siis matemaattisesti ilmaistavista seikoista. Matemaatikot kertokoot, onko sanonnalla ”puolta enemmän” matematiikassa merkitystä lainkaan. Varmaa on, että se matematiikassa ei voi tarkoittaa samaa kuin ”kaksinkertainen”.

Kuten Jämsä toteaa, kokonaisluvulla 2 muodostettu murtoluku 1/2 on suomessa puoli eikä kahdesosa. Tämä poikkeus kätkee sen seikan, että kyse on murtoluvusta, joka voidaan myös ilmaista prosentteina (50 %) täydestä määrästä (100 %). Ei ole loogista, että juuri (ja vain) puoli ei tottelisi samoja sääntöjä kuin toiset, muilla kokonaisluvuilla kuin luvulla 2 muodostetut murtoluvut. Onhan ”kolmasosan suurempi” aina 133 %, ”neljäsosan enemmän” aina 125 ja niin edelleen. Lauseketta ”puolet suurempi/enemmän” ei kenties, sekaannuksen välttämiseksi, pidä käyttää tarkoitettaessa määrää 150 %. Tämä määrä on kuitenkin ainoa mahdollinen matemaattinen merkitys, joka sillä voi olla.

On mielenkiintoista, että vastaava virhe on harvinainen (mutta ei täysin tuntematon), jos vertailu ilmaisee vähenemistä. ”Puolet pienempi” ymmärretään oikein. Samoin ”kolmasosan pienempi”, ”neljäsosan pienempi” jne. Virhe ilmeneekin toisessa yhteydessä, sanottaessa ”kolme kertaa pienempi”, ”viisi kertaa pienempi” – tarkoitettaessa murtolukuja, siis kolmasosaa ja viidesosaa. Ongelma ei olekaan suhdelukua ilmaisevassa sanassa (kolmasosa, puoli) vaan vertailuun välttämättä kuuluvan kytkennän (”vähemmän/enemmän kuin”, ”pienempi/suurempi kuin”) virheellisessä käytössä. Vähenemistä tarkoittavassa vertailussa tehdään virhe harvemmin, kenties siitä syystä että on helpompi havaita se matemaattinen seikka, että vähenemisellä on alaraja. Saavi tyhjenee eikä negatiivista vettä ilmesty tilalle. Yrityksen voitto muuttuu pienentyessään lopulta tappioksi. ”Viisi kertaa pienempi kuin” on matemaattisesti järjetön ilmaus. Kasvulla ei ole vastaavaa ylärajaa; sanonta ”viisi (tai puoli) kertaa enemmän” ei ole suorastaan järjetön vaan ainoastaan epäselvä.

Mielestäni sanaa kerta ei pidä käyttää yhdessä komparatiivin kanssa vaan vain muodossa ”niin ja niin monta kertaa yhtä paljon kuin”. Ei siis ”kolme kertaa enemmän” vaan ”kolme kertaa niin paljon kuin”. Sana kerta johdattaa kuulijan ajattelemaan, että kyse on kokonaisluvulla kertomisesta, siis monikerrasta. Ero on tällöin suhteellinen eikä absoluuttinen. Komparatiivi, kuten enemmän kuin, suurempi kuin jne. puolestaan toimii absoluuttisen eron määrittelevän suureen, erotuksen yhteydessä hyvin. Vaikeuksia syntyy yhdistettäessä nämä vertailutavat, kuten puhekielessä tapahtuu.

Kuvitellaan, että A:lla on 100 markkaa ja B:llä on 600 markkaa rahaa. B:llä on siis rahaa 6 kertaa niin paljon kuin A:lla. B:n rahamäärän ja A:n rahamäärän erotus on 500 markkaa. Vertailussa käytetään eri lukuja ilmaistaessa ero ensiksi suhteellisena ja toiseksi absoluuttisena. Kuitenkin puhekielessä usein väitetään B:llä olevan ”kuusi kertaa enemmän rahaa” kuin A:lla. Tämän voidaan, ankaran matemaattisessa tarkastelussa, tulkita tarkoittavan sitä, että heidän rahamääriensä erotus (johon sana ”enemmän” viittaa) olisi kuusi kertaa niin suuri kuin A:n rahamäärä. B:llä olisikin siis 700 markkaa!

Myönnän, että ilmaus ”x kertaa enemmän kuin” puhekielessä aina tarkoittaa samaa kuin ”x-kertainen”. Sama rinnastus esiintyy muissakin kielissä: englannin ”three times as much as” ja ”three times greater than” tarkoittavat samaa kuin ruotsin ”tre gånger så mycket som” ja ”tre gånger mera än” ja suomen ”kolme kertaa niin paljon kuin” ja ”kolme kertaa enemmän”. Ilmauksessa ”kolme kertaa enemmän” kuitenkin piilee matemaattinen virhe – tai ainakin muun kuin tarkoitetun tulkinnan mahdollisuus. Ilmauksen ”puolet enemmän” virheellinen käyttö siis johtunee, paitsi sanan puoli käyttötapojen lukuisuudesta (nämä tavat Jämsä artikkelissaan havainnollisesti esittää), myös puhekielen tavasta yhdistää komparatiivi sanaan kerta. Ei siis havaita, että ”puolet enemmän” tarkasti analysoituna voi tarkoittaa ”puoli kertaa enemmän” (jos näin voisi sanoa) eli y = x + 0,5x. Käytäntö on kuitenkin niin vahvasti vakiintunut toiselle kannalle että Jämsäkin lausuu sanonnan ”puolitoista kertaa enemmän” tarkoittavan samaa kuin yhtälö y = x + 0,5x vaikka sen voidaan tulkita vastaavan yhtälöä y = x + 1,5x. Kaksi virhettä samassa lauseessa, kuten ”rahakasani on puolet (= puoli kertaa ) suurempi kuin sinun, on liikaa. Välttäkäämme siis ilmausta ”puolet enemmän”!

Kantani on perusteltavissa myös muilla kuin matemaattisilla argumenteilla. Kielitajuni vaatii minua suosimaan johdonmukaisuutta. Sanonnat ”kasvoi puolet/puolella”, ”muuttui puolta suuremmaksi” ja ”piteni puolella” eivät tarkoittane kaksinkertaistumista. On johdonmukaista todeta, että näiden esimerkkimuutosten tuloksena subjekti on puolet suurempi kun ennen. Rahakasaesimerkistä nämä vertaukset eroavat siinä, että vertailukohteet eivät ole yhtä aikaa olemassa. Relaation kääntämisessä ei siksi yhtä usein tehdä edellä kuvattua virhettä.

Tein ehdottoman epätieteellisen ”tutkimuksen” kysymällä pariltakymmeneltä ihmiseltä esimerkein, miten he ymmärtävät ilmauksen ”puolta/puolet enemmän/suurempi”. Kumpikaan kanta (siis ”kaksinkertainen” ja ”puolitoistakertainen”) ei saanut selvästi toista suurempaa kannatusta. Mitä pitemmän ajan vastaaja asiaa pohti ennen kannanottoaan, sitä varmemmin hän vastasi ilmauksen merkitsevän ”puolitoista kertaa niin paljon kuin”. Havainto on mielenkiintoinen. Lienee niin, että monille tulee ensiksi mieleen yleinen käytäntö ”kaksi kertaa niin suuri”. Jos he kuitenkin miettivät, mitä sanonta toden perään tarkoittaa, havaitsevat he, että sen looginen merkitys on 150 % siitä määrästä, johon verrataan. Ristiriita oli monille tuttu. Siitä lienee monella taholla keskusteltu, jolloin matemaattinen kouluoppi on samalla palautunut mieleen.

En näe syytä siihen, että edellä mainittuja käytäntöjä ”virallistetaan” selostamalla, että ”kansankielessä” niillä aina on tietty täsmällinen, jopa (virheellisenä) matemaattisena kaavana ilmaistavissa oleva sisältö. Sanontatapaan liittyvä matemaattinen kömmähdys tulisi ainakin mainita. Odotin lisäksi Jämsän kertovan oman mielipiteensä sanontatavan hyväksyttävyydestä.

Mielestäni yleiseenkin käytäntöön tulee suhtautua kriittisesti, jos ilmauksen tarkempi analyysi johtaa toiseen merkityssisältöön kuin sen käyttäjä yleensä tarkoittaa. Esityksen otsikko antoi aiheen odottaa asian monipuolisempaa ja paremmin harkittua käsittelyä. Siksi tämä kirjoitus.

Timo Ruikka

Edellä olevan johdosta

Timo Ruikka arvostelee minua edellä kolmesta asiasta: siitä, että en ole tarpeeksi perusteellisesti käsitellyt kirjoitukseni otsikon Paljonko on puolta enemmän? ongelmaa, siitä että en ole tuominnut ”puolta enemmän” -ilmauksen kansankielistä merkitystä ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ epäloogiseksi, ja viimein siitä että en ole ottanut kantaa siihen, missä merkityksessä ”puolta enemmän” -ilmausta on luvallista käyttää.

Käsittelin kirjoituksessani puoli-sanan merkityksiä ja niiden keskinäisiä yhteyksiä. Pidin otsikkoa Paljonko on puolta enemmän? mielenkiintoisempana kuin sisällön kannalta kattavampia työvaiheen otsikkoehdokkaita Puoli-sanan merkitykset, Puoli-sanan semantiikkaa tms. Kuvittelin lukijoidenkin ymmärtävän otsikkoni tausta-ajatuksen.

Sanoin kirjoituksessani kaiken olennaisen, mitä minulla on ”puolta enemmän” -ilmauksesta sanottavana. ”Puolta enemmän” -ilmauksen kansankielisten ja matemaattisten merkitysten läpikotainen vertailu olisi vienyt kirjoitustani sivupoluille. Tilasta on kaikissa lehdissä, Kielikellossakin, puute. Kirjoitukseni oli deskriptiivinen, kuvaileva, ei normatiivinen, ohjaileva. Siksi en ottanut avoimesti kantaa siihen, missä merkityksessä ”puolta enemmän” -ilmausta on oikein käyttää.

Tuomitessaan ”puolta enemmän” -ilmauksen kansankielisen merkityksen ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ loogiseksi ja matemaattiseksi virheeksi Timo Ruikka näyttää olettavan, että se, mikä on matemaattisesti virheellistä, ei voi olla loogisesti oikeaa. Häneltä jää tunnustamatta, että arkikielelläkin on logiikkansa. Kansankielen ”puolta enemmän/vähemmän” -ilmausten logiikka on sellainen, kuin olen hänen edellä lainaamassaan kirjoitukseni katkelmassa sanonut.

Kansankieli eli murteet edustaa kielen puhujien vuosisatojen ja vuosituhansien aikana muodostunutta tietoisuutta sanojen merkityksistä. En ole koskaan kuullut kenenkään murteenpuhujan käyttävän ilmausta ”puolta enemmän” merkityksessä ’puolitoista kertaa niin paljon kuin’ vaan aina merkityksessä ’kaksi kertaa niin paljon kuin’. Käsitys, että ”puolta enemmän” tarkoittaa ’puolitoista kertaa niin paljon kuin’ on kuitenkin melko laajalle levinnyt niiden keskuudessa, jotka katsovat puoli-sanan merkitystä pelkästään koulumatematiikan näkökulmasta.

Timo Ruikka koettaa tehdä tyhjäksi ”puolta enemmän” -ilmauksen merkityksen ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ väittämällä, että esimerkiksi ilmauksessa ”kasvoi puolella” ei ole sitä vertailukohtaa, josta hänen edellä lainaamissaan kirjoitukseni osissa puhun, ja että ainakin tämä ilmaus tarkoittaa ’puolitoistakertaiseksi kasvamista’. Jos joku on kulkenut pisteestä A pisteeseen B tavallisesti 500 metriä, niin hän sanoessaan: ”Matka kasvoi puolella”, tarkoittaisi Ruikan mukaan, että ’hän olisi joutunut kulkemaan 500 metrin sijasta 750 metriä’.

Virke ”Kalle kiersi sillan kautta, ja matka piteni puolella” on samanlainen kuin Ruikan ”kasvoi puolella” -esimerkki. Sillä, joka käyttää ajatuksensa pukuna sellaista virkettä, on tietysti mielessään ”piteni puolella” -ilmaukseen liittyvät vertailukohteensa. Hän vertaa Kallen taittamaa ylimääräistä matkaa A koko matkaan C ja toteaa, että ylimääräinen matka käsittää yhtä suuren osan koko matkasta kuin Kallen tavallisesti kulkema matka B. Sama asia voidaan ilmaista verrantona A : C = B : C. C = ½C + ½C = 2 x ½C. Kun Kalle kiersi sillan kautta, matka piteni siis kaksinkertaiseksi eli sitä kertyi ”puolta enemmän”.

Puoli-sanan ”puolta enemmän” -ilmauksen yhteydessä saama merkitys ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ johtuu siitä, että puolikkaat ovat saman suuruiset ja että niitä on kokonaisessa kaksi. Puoli-sanan merkityksen kannalta on tässä yhteydessä ensisijaista, että puolikkaat lasketaan yhteen, ja toissijaista, että sama tulos voidaan saavuttaa kertomalla kumpi tahansa puolikas kahdella.

Puoli-sanalla on laskemisessa kaksi perusmerkitystä: kansankielinen merkitys ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ ja sekä kansankielinen että matemaattinen merkitys ’kahdesosa’. Merkitys ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ on puoli-sanalla silloin, kun puhuja sanaa käyttäessään kytkee mielessään pienemmän suurempaan (”puolta enemmän”), esimerkiksi ylimääräisen matkan koko matkaan, ja merkitys ’kahdesosa’ silloin, kun puhuja kytkee mielessään suuremman pienempään (”puolta vähemmän”), jakaessaan kokonaisen kahtia.

Ero puoli-sanan ja niiden sanojen välillä, joilla on pelkästään murtoluvun merkitys, käy havainnollisesti ilmi, kun muutamme edellä käyttämämme esimerkkivirkkeen muotoon: ”Kalle kiersi sillan kautta, ja matka piteni kolmanneksella.” Kansankielessä virke tulkittaneen yleensä yhtälön x = 2/3x + 1/3x mukaisesti (x = matka). Mutta matemaattinen tulkinta x = y + 1/3y ei tunnu kansankielen kannalta yhtä mahdottomalta kuin vaihtoehdossa, jossa kolmanneksella-sanan tilalla on sana puolella.

Tieteellisessä matematiikassa ei ilmauksella ”puolta enemmän” ole sijaa ilmauksen polysemian, monimerkityksisyyden, takia. Matematiikka on eksakti tiede, ja se voi ilmaista arkikielen, ”puolta enemmän” -ilmauksen eri merkityksiä yksitulkintaisesti käyttämällä kirjainsymboleja ja numeerisia ilmauksia.

Oletetaan, että meillä on ratkaistavana laskuesimerkki: ”Kalle sai kaksi omenaa ja Pekka puolta enemmän. Kuinka monta omenaa Pekka sai?” Ratkaisu riippuu siitä, minkä merkityksen ilmaukselle ”puolta enemmän” annamme. Merkityksiä on oikeastaan kolme: ’x + x = 2x’, ’x + 0,5’ ja ’x + 0,5x’.

Matematiikan koulukurssin suorittaneet pitänevät ”puolta enemmän” -ilmauksen merkitystä ’x + 0,5x’ matemaattisesti ainoana oikeana. Heidän mielestään laskuesimerkin ratkaisu on: 3. Ne, jotka tarkastelevat asioita kansankielen pohjalta, pitävät merkitystä ’x + x’ oikeana ja vastaavat: 4. Joku saattaa käsittää puolta-sanan tarkoittavan ’konkreettista puolikasta’ ja ratkaista esimerkin ”puolta enemmän” ilmauksen merkityksen ’x + 0,5’ pohjalta. Vastaus on tällöin: 2,5.

Mikä ratkaisu on oikea? Kaikki, omalla tavallaan. Matematiikan oppikirjojen tekijät ovat olleet tarpeeksi viisaita ollakseen joutumatta puoli-sanan monimerkityksisyyden loukkuun; edellä kuvatun laista laskuesimerkkiä en muista tavanneeni.

Silloin kun puoli-sanaa käytetään murtolukuilmauksena, sitä seuraa tavallisesti elatiivissa oleva sana. Välttääksemme monimerkityksisyyden ja saadaksemme laskuesimerkin matemaattisesti täsmälliseksi voimme teoriassa kirjoittaa esimerkin ensimmäisen virkkeen muotoon: ”Kalle sai kaksi omenaa ja Pekka puolet siitä, minkä Kalle sai, enemmän.” Mutta tämä on tietysti täyttä kapulakieltä. Ongelma poistuu, jos otamme käyttöön sanan kahdesosa tai kahdennes: ”Kalle sai kaksi omenaa ja Pekka kahdesosaa/kahdennesta enemmän.”

Kielenhuollon kanta ”puolta enemmän” -ilmaukseen on esitetty mm. Kielikellossa 7/1974. ”Puolta enemmän” -ilmauksen merkitys ’kaksi kertaa niin paljon kuin’ hyväksytään, vaikka samalla todetaan sen tietty ristiriitaisuus (ks. myös Terho Itkonen: Kieliopas).

Se, että sanoilla on monia merkityksiä, on tavallista. Timo Ruikka ei sitä hyväksy. Hän ei taita peistään vain ”puolta enemmän” -ilmauksen kansankielistä merkitystä vastaan vaan katsoo myös, että enemmän-sanan on aina ilmaistava kahden luvun erotusta, silloinkin kun sana viittaa jonkin luvun monenkertaisuuteen toiseen lukuun verrattuna: vrt. ”kolmea enemmän” (’x + 3’), ”kolme kertaa enemmän” (’3x’, Ruikan mukaan ’x + 3x’).

Kielikellon 7/74 kirjoittaja on ”puolta enemmän” -ilmauksen yhteydessä käsitellyt myös ”x kertaa enemmän” -ilmauksen logiikkaa. Hän toteaa terävästi, että jos esimerkiksi ”kymmenen kertaa enemmän” tarkoittaisi ’x + 10x’, olisi myös ”kymmenen kertaa suurentavan kaukoputken” suurennos tosiasiassa yksitoistakertainen.

Tuomo Jämsä